上点教育集团第七届教师技能大赛 · 赛课演示

从对称到周期

—— 抽象函数图象的"数形翻译"

高三数学 · 一轮复习专题 · 授课教师　胡昕昱

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一个等式，一条对称轴

\(f(1+x) = f(1-x)\)

图象关于直线 \(x=1\) 对称

\(f(1+x) + f(1-x) = 0\)

图象关于点 \((1,0)\) 中心对称

\(f(-1+x)=f(-1-x)\)　·　\(f(1+x)=f(1-x)\)

两次翻折 = 平移 \(2|a-b|\)　⟹　\(T = 4\)

\(f(-1+x)+f(-1-x)=0\)　·　\(f(1+x)+f(1-x)=0\)

两次旋转 = 平移 \(2|a-b|\)　⟹　\(T = 4\)

\(f(x)=\sin x\)　·　轴 \(x=\dfrac{\pi}{2}\)　·　中心 \((0,0)\)

翻折 + 旋转 = 平移 \(4|a-b|\)　⟹　\(T = 2\pi\)

背下来，考场直接用

①

两条对称轴 \(x=a\)、\(x=b\)

\(T = 2|a-b|\)

两次翻折 = 平移 \(2|a-b|\)

②

两个对称中心 \((a,c)\)、\((b,c)\)

\(T = 2|a-b|\)

两次旋转 = 平移 \(2|a-b|\)

③

一条对称轴 \(x=a\) + 一个对称中心 \((b,c)\)

\(T = 4|a-b|\)

翻折 + 旋转 = 平移 \(4|a-b|\)

口诀双轴双心 2 倍距，一轴一心 4 倍距

陷阱提醒：对称中心必须与轴"配对"才产生周期；中心不在图象上时不要误用 \(f(a)=0\)。

对称，是周期之源

一个等式读出一种对称，两种对称"合起来"就生出周期 ——
这就是抽象函数题的"数形翻译"。

谢谢聆听　·　敬请指正